Сумма простых чисел - это важное понятие в теории чисел, имеющее множество интересных свойств и применений. Простые числа, являющиеся "строительными блоками" натурального ряда, при сложении демонстрируют удивительные закономерности.
Содержание
Определение простого числа
Простым называется натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само себя. Первые простые числа:
- 2 (единственное четное простое число)
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
Свойства суммы простых чисел
| Свойство | Описание | Пример |
| Сумма двух простых чисел | Может быть как простым, так и составным числом | 2+3=5 (простое), 3+5=8 (составное) |
| Гипотеза Гольдбаха | Любое четное число >2 можно представить как сумму двух простых | 10=3+7, 16=5+11 |
Вычисление суммы простых чисел
Сумма первых n простых чисел
Формула для частичной суммы: S(n) = p₁ + p₂ + ... + pₙ, где pᵢ - i-тое простое число.
| n | Сумма первых n простых |
| 1 | 2 |
| 3 | 2+3+5=10 |
| 5 | 2+3+5+7+11=28 |
Асимптотическое поведение
Сумма первых n простых чисел растет приблизительно как:
- S(n) ≈ n² ln n / 2
- Более точная оценка: S(n) ~ n² ln n / 2 + O(n²)
Интересные факты
- Единственное простое число, которое является суммой двух последовательных простых: 5=2+3
- Наибольшее известное простое число, представимое как сумма последовательных простых: содержит 23,249 цифр
- Сумма всех простых чисел до 100 равна 1060
Распределение сумм простых
| Диапазон | Количество способов представить как сумму двух простых |
| 10 | 2 (3+7, 5+5) |
| 20 | 4 (3+17, 7+13, ...) |
| 100 | 12 |
Изучение сумм простых чисел продолжает оставаться активной областью исследований в теории чисел, с недоказанными гипотезами и открытыми проблемами, такими как гипотеза Гольдбаха.
