Сумма арифметической прогрессии: формулы и примеры расчета

Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину (разность прогрессии). Сумма членов такой прогрессии имеет строгую математическую формулу.

Основные понятия арифметической прогрессии

Формула суммы арифметической прогрессии

Основная формула:

Sₙ = n/2 × (2a₁ + d(n-1))

Альтернативная форма:

Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)

Примеры расчета суммы

Пример 1: Простая прогрессия

Дано: a₁ = 1, d = 1, n = 100 (сумма первых 100 натуральных чисел)

Решение:

1. S₁₀₀ = 100/2 × (2×1 + 1×(100-1))
2. S₁₀₀ = 50 × (2 + 99)
3. S₁₀₀ = 50 × 101 = 5050

Пример 2: Прогрессия с отрицательной разностью

Дано: a₁ = 20, d = -3, n = 10

Решение:

• Находим a₁₀ = 20 + (-3)×9 = -7
• S₁₀ = 10/2 × (20 + (-7)) = 5 × 13 = 65

Доказательство формулы суммы

Формула основана на методе Гаусса:

1. Запишем прогрессию дважды: в прямом и обратном порядке
2. Сложим соответствующие члены: (a₁+aₙ), (a₂+aₙ₋₁), ..., (aₙ+a₁)
3. Каждая такая пара равна (a₁ + aₙ)
4. Всего пар - n штук
5. Общая сумма: n(a₁ + aₙ)
6. Так как мы сложили две одинаковые прогрессии, делим на 2

Применение формул на практике

• Расчет суммы последовательных чисел
• Финансовые вычисления (кредиты, вклады)
• Физические задачи (равноускоренное движение)
• Компьютерные алгоритмы

Важное замечание:

Формулы применимы только для конечных арифметических прогрессий. Для бесконечных арифметических прогрессий сумма расходится.